第1種・第2種不完全ガンマ関数の微分
第1種・第2種不完全ガンマ関数の微分
(1)
\[ \frac{\partial\gamma\left(a,x\right)}{\partial x}=x^{a-1}e^{-x} \](2)
\[ \frac{\partial\Gamma\left(a,x\right)}{\partial x}=-x^{a-1}e^{-x} \]-
\(\gamma\left(a,x\right)\)は第1種不完全ガンマ関数、\(\Gamma\left(a,x\right)\)は第2種不完全ガンマ関数(1)
\begin{align*} \frac{\partial\gamma\left(a,x\right)}{\partial x} & =\frac{\partial}{\partial x}\int_{0}^{x}t^{a-1}e^{-t}dt\\ & =x^{a-1}e^{-x} \end{align*}(2)
\begin{align*} \frac{\partial\Gamma\left(a,x\right)}{\partial x} & =\frac{\partial}{\partial x}\int_{x}^{\infty}t^{a-1}e^{-t}dt\\ & =-x^{a-1}e^{-x} \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 第1種・第2種不完全ガンマ関数の微分 |
| URL | https://www.nomuramath.com/zr12kgtz/ |
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ポリガンマ関数同士の差の極限
\[
\lim_{z\rightarrow0}\left(\psi^{\left(n\right)}\left(z-m\right)-\psi^{\left(n\right)}\left(z\right)\right)=n!H_{m,n+1}
\]
ガンマ関数の相反公式
\[
\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\pi\sin^{-1}(\pi z)
\]
ガンマ関数の非正整数近傍での値
\[
\lim_{\epsilon\rightarrow\pm0}\Gamma\left(-\epsilon\right)=-\lim_{\epsilon\rightarrow\pm0}\Gamma\left(\epsilon\right)
\]
ガンマ関数の対数とリーマン・ゼータ関数
\[
\log\Gamma\left(x+1\right)=-\gamma x+\sum_{k=2}^{\infty}\frac{(-1)^{k}\zeta\left(k\right)}{k}x^{k}
\]