距離空間での内点(内部)・外点(外部)・境界(境界点)・触点(閉包)・集積点(導集合)・孤立点の定義
距離空間での内点(内部)・外点(外部)・境界(境界点)・触点(閉包)・集積点(導集合)・孤立点の定義
距離空間\((X,d)\)として部分集合\(A\subseteq X\)とする。
\(x\in X\)を含む\(\epsilon\)近傍を\(U_{\epsilon}\left(x\right)\)で表す。
\(A\)の内点全体の集合を\(A\)の内部といい、interiorのiをとり\(A^{i}\)で表す。
\(A\)の外点全体の集合を\(A\)の外部といい、exteriorのeをとり\(A^{e}\)で表す。
\(A\)の境界点全体の集合を\(A\)の境界といい、frontierのfをとり\(A^{f}\)で表す。
\(A\)の触点全体の集合を\(A\)の閉包といい、\(A^{a}\)で表す。
\(A\)の集積点全体の集合を\(A\)の導集合といい、\(A^{d}\)で表す。
\(A\)の孤立点全体の集合を\(A^{s}\)で表す。
距離空間\((X,d)\)として部分集合\(A\subseteq X\)とする。
\(x\in X\)を含む\(\epsilon\)近傍を\(U_{\epsilon}\left(x\right)\)で表す。
(1)内部
\[ \exists\epsilon>0,U_{\epsilon}\left(x\right)\subseteq A \] を満たすとき、\(x\)は\(A\)の内点であるという。\(A\)の内点全体の集合を\(A\)の内部といい、interiorのiをとり\(A^{i}\)で表す。
(2)外部
\[ \exists\epsilon>0,U_{\epsilon}\left(x\right)\subseteq A^{c} \] を満たすとき、\(x\)は\(A\)の外点であるという。\(A\)の外点全体の集合を\(A\)の外部といい、exteriorのeをとり\(A^{e}\)で表す。
(3)境界
\[ \exists\epsilon>0,U_{\epsilon}\left(x\right)\cap A\ne\emptyset\land U_{\epsilon}\left(x\right)\cap A^{c}\ne\emptyset \] を満たすとき、\(x\)は\(A\)の境界点であるという。\(A\)の境界点全体の集合を\(A\)の境界といい、frontierのfをとり\(A^{f}\)で表す。
(4)閉包
\[ \forall\epsilon>0,U_{\epsilon}\left(x\right)\cap A\ne\emptyset \] を満たすとき、\(x\)は\(A\)の触点であるという。\(A\)の触点全体の集合を\(A\)の閉包といい、\(A^{a}\)で表す。
(5)導集合
\[ \forall\epsilon>0,U_{\epsilon}\left(x\right)\cap\left(A\setminus\left\{ x\right\} \right)\ne\emptyset \] を満たすとき、\(x\)は\(A\)の集積点であるという。\(A\)の集積点全体の集合を\(A\)の導集合といい、\(A^{d}\)で表す。
(6)孤立点全体の集合
\[ \exists\epsilon>0,U_{\epsilon}\left(x\right)\cap A=\left\{ x\right\} \] を満たすとき、\(x\)は\(A\)の孤立点であるという。\(A\)の孤立点全体の集合を\(A^{s}\)で表す。
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基本的に位相空間での定義と同じです。-
外部は\[ \exists\epsilon>0,U_{\epsilon}\left(x\right)\subseteq A^{c}\Leftrightarrow\exists\epsilon>0,U_{\epsilon}\left(x\right)\cap A=\emptyset \] とも表される。
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閉包は、\begin{align*} \forall\epsilon>0,U_{\epsilon}\left(x\right)\cap A\ne\emptyset & \Leftrightarrow\forall\epsilon>0,\exists a\in A,a\in U_{\epsilon}\left(x\right)\\ & \Leftrightarrow\forall\epsilon>0,\exists a\in A,d\left(x,a\right)<\epsilon\\ & \Leftrightarrow d\left(x,A\right)=0 \end{align*} となる。
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孤立点は\[ \exists\epsilon>0,x\in A\land U_{\epsilon}\left(x\right)\cap\left(A\setminus\left\{ x\right\} \right)=\emptyset \] と同じである。
何故なら、孤立点の定義より、
\begin{align*} \left\{ x\right\} & =U_{\epsilon}\left(x\right)\cap A\\ & =U_{\epsilon}\left(x\right)\cap\left(A\cap\left(\left\{ x\right\} ^{c}\cup\left\{ x\right\} \right)\right)\\ & =U_{\epsilon}\left(x\right)\cap\left(\left(A\cap\left\{ x\right\} ^{c}\right)\cup\left(A\cap\left\{ x\right\} \right)\right)\\ & =\left(U_{\epsilon}\left(x\right)\cap\left(A\cap\left\{ x\right\} ^{c}\right)\right)\cup\left(U_{\epsilon}\left(x\right)\cap A\cap\left\{ x\right\} \right)\\ & =\left(U_{\epsilon}\left(x\right)\cap\left(A\setminus\left\{ x\right\} \right)\right)\cup\left(A\cap\left\{ x\right\} \right) \end{align*} となるが、これが成り立つためには、\(x\notin A\)とすると満たさないので、
\[ x\in A\land U_{\epsilon}\left(x\right)\cap\left(A\setminus\left\{ x\right\} \right)=\emptyset \] となるからである。
ページ情報
| タイトル | 距離空間での内点(内部)・外点(外部)・境界(境界点)・触点(閉包)・集積点(導集合)・孤立点の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/zxdqoqs2/ |
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単射により誘導された距離空間
\[
d_{f}\left(a,b\right)=d\left(f\left(a\right),f\left(b\right)\right)
\]
距離空間ではコンパクト集合と点列コンパクト集合とは同値
距離空間での集積点と閉包の点列による別定義
\[
x\in A^{d}\leftrightarrow\exists\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\subseteq A\setminus\left\{ x\right\} ,\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=x
\]
パリ距離は距離空間
\[
d\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\begin{cases}
\left|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right| & \exists c\in\mathbb{R},\boldsymbol{y}=c\boldsymbol{x}\\
\left|\boldsymbol{x}\right|+\left|\boldsymbol{y}\right| & other
\end{cases}
\]